常用结论

我们由一个寻常的三元三次对称式出发:

$$\begin{gathered} a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ =\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \end{gathered}$$

由此可知,如果$a,b,c\in R,a^3+b^3+c^3-3abc=0$(※),当且仅当$a+b+c=0$或$a=b=c$.

那么我们容易知道,$a,b,c\in R^+,a^3+b^3+c^3-3abc\ge 0$

这里挖个坑,以后用叶军老师书中三元三次不等式的通法再次解释.

实战应用

实际上,(※)在各高校的强基考试中屡屡出现:

例一

(2020清华强基)已知实数$a,b$满足$a^3+b^3+3ab=1$,则$a+b$的所有可能值组成的集合为$M$,则()

A.$M$为单元素集 B.$M$为有限集,但不是单元素集

C.$M$为无限集,且有下界 D.$M$为无限集,且无下界

显然$a^3+b^3+(-1)^3-3ab(-1)=0$,只能有$a=b=-1$或$a+b+(-1)=0$,所以:

$M=\{-1,2\}$,选B

例二

(2014北大综合营)设实数$a,b,c$满足$a+b+c=0,a^3+b^3+c^3=0$,其中$n\in N_+$,求$a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}$的值

$a^3+b^3+c^3=3abc+\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=3abc=0$,所以:

$abc=0$,不妨设$c=0,a+b=0$,则所求式显然等于0.

例三

(2016北大自招)已知对于实数$a$,存在实数$b,c$满足$a^3-b^3-c^3=3abc,a^2=2(b+c)$,则这样的实数$a$的个数为() A.1 B.3 C.无穷个 D.前三个选项都不对

由※有$a-b-c=0$或$a=-b=-c$,下面对两个情况进行分类讨论:

情况一:a=b+c

$a^2=2a$,于是$a$可以为0或2

情况二:b=c=-a

$a^2=-4a\ge 0$,于是$a=-4$

综上,选B

例四

(2019清华领军)设实数$x,y$满足$x^3+27y^3+9xy=1$,则()

A.$x^3y$的最大值为$\frac{1}{3}$ B.$x^3y$的最大值为$\frac{27}{64}$

C.$x^3y$的最小值为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$ D.$x^3y$无最小值

$x^3+(3y)^3+(-1)^3-3x(3y)(-1)=0$,推出$x+3y-1=0$或$x=3y=-1$

情况一:x=3y=-1

$x=-1,y=-\frac{1}{3},x^3y=\frac{1}{3}$

情况二:x+3y=1

$x^3(3y)=x^3(1-x)$,显然无最小值.

不妨设最大值大于0,则$x,(1-x)$同号,$x\in (0,1)$.

$$9x^3y=3x^3(3y)=x^3(3-3x)\le (\frac{3}{4})^4$$

$x^3y\le \frac{9}{256}\lt \frac{1}{3}$

综上,选AD.

例5

(2021北大寒假学堂)设正整数$m,n$满足$m^3+n^3+99mn=33^3$,则数对(m,n)有()组.

$m^3+n^3+(-33)^3-3mn(-33)=0$

情况一:m=n=-33

与正整数的条件矛盾

情况二:m+n=33

${(m,n)|m,n\in N^+,m+n=33}={(1,32),(2,31),...,(32,1)}$,共32组.

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看惯了以(※)为条件的题目,让"攻守之势易也"吧.

例6

(知乎网友)$a,b,c$为非负实数,$a+b+c=1$,求证:$a^3+b^3+c^3+3abc \ge \frac{2}{9}$

$a^3+b^3+c^3+3abc=6abc+(a+b+c)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=6abc+a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)$

这里不能把$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$放缩为0,否则放缩过度.

$abc$在不等号较大的一边,且原式关于$a,b,c$对称,我们考虑使用SPQ法+舒尔不等式.

设$s=a+b+c,q=ab+bc+ca,p=abc$,则$Schur:s^3-4sq+9p\ge 0,9p\ge 4q-1$

$6abc+a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=6p+s^2-3q=6p-3q+1\ge -\frac{1}{3}(q-1)\ge \frac{2}{9}$

这相当于$q\le \frac{1}{3}$,由AM-GM不等式$3q\le s^3=1$,Q.E.D